Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為$（{\sqrt{3}，1}）$，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（cosωx，sinωx），其中ω＞0，設(shè)$f（x）=\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）若ω=2，∠A為△ABC的內(nèi)角，當(dāng)f（A）=1時，求∠A的大��；
（Ⅱ）記函數(shù)y=f（x）（x∈R）的值域為集合G，不等式x²-mx＜0的解集為集合P．當(dāng)P⊆G時，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計算A；
（II）求出G，P，根據(jù)集合的包含關(guān)系得出m的范圍．

解答 解：（I）f（x）=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=1，∴sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$，∴2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$或$\frac{13π}{6}$．∴A=$\frac{π}{4}$或A=$\frac{11π}{12}$．
（II）f（x）=$\sqrt{3}$cosωx+sinωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）．∴G=[-2，2]．
令x²-mx=0，解得x=0或x=m，
∴當(dāng)m=0時，P=∅，P⊆G，符合題意．
當(dāng)m＞0時，P=（0，m），∵P⊆G，∴m≤2．
當(dāng)m＜0時，P=（m，0），∵P⊆G，∴m≥-2．
綜上，m的最大值是2．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，集合之間的關(guān)系，屬于中檔題．