Question

1．已知x，y∈R且x$\sqrt{1-{y}^{2}}$+y$\sqrt{1-{x}^{2}}$=1，則$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)式子的意義可得出x，y的范圍，令x=sinα，y=sinβ，則$\sqrt{1-{x}^{2}}$=cosα，$\sqrt{1-{y}^{2}}$=cosβ，將原式化簡得出α，β的關(guān)系，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系得出答案．

解答 解：由式子有意義可得$\left\{\begin{array}{l}{1-{y}^{2}≥0}\\{1-{x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$．
由x$\sqrt{1-{y}^{2}}$+y$\sqrt{1-{x}^{2}}$=1可知：$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$．
設(shè)x=sinα，y=sinβ，α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]．
則$\sqrt{1-{x}^{2}}$=cosα，$\sqrt{1-{y}^{2}}$=cosβ，
∴sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=1，
∴α+β=$\frac{π}{2}$．
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{si{n}^{2}α+si{n}^{2}β}$=$\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=1．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，換元法思想，屬于中檔題．