Question

9．（1）已知復(fù)數(shù)z₁滿足（z₁-2）（1+i）=1-i（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z₂的虛部為2，且z₁•z₂是實(shí)數(shù)，求z₂．
（2）已知x＞0，y＞0，x≠y，試比較$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$與$\frac{4}{x+y}$的大小，并用分析法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出；
（2）利用分析法即可得出大小關(guān)系．

解答 解：（1）∵（z₁-2）（1+i）=1-i，∴z₁=2-i，
$\begin{array}{l}設(shè){z_2}=a+2i，a∈R\\{z_1}•{z_2}=（2-i）（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i\end{array}$
∵z₁•z₂∈R，∴a=4，
∴z₂=4+2i．
（2）結(jié)論：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}＞\frac{4}{x+y}$
證明：∵x＞0，y＞0，∴要證　$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}＞\frac{4}{x+y}$，
只需證：$\frac{x+y}{xy}＞\frac{4}{x+y}$，
只需證：（x+y）²＞4xy，
只需證：（x-y）²＞0，
∵x≠y，∴（x-y）²＞0成立，
∴結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、分析法比較數(shù)的大小關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．