Question

(本小題滿分14分)

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)。

（Ⅰ）對任意實(shí)數(shù)λ，證明數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）設(shè)0＜a＜b，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和。是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有

a＜S_n＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明見解析。

（Ⅱ）見解析。

（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）證明；假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使是等比數(shù)列，則有，

即矛盾。

所以不是等比數(shù)列。

（Ⅱ）解：因?yàn)?/p>

又，所以

當(dāng)時(shí)，些時(shí)不是等比數(shù)列；

當(dāng)時(shí)，由上可知。

故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)λ=-18,b_n=0,S_n=0,不滿足題目要求.

∴λ≠-18，故知b_n= -（λ+18）·（－）^n-1，于是可得

S_n=-

要使a<S_n<b對任意正整數(shù)n成立，

即a<-(λ+18)·［1－（－）ⁿ］〈b(n∈N⁺)               

   ①

當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1<f(n)

∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,

于是，由①式得a<-(λ+18),<

當(dāng)a<b3a時(shí)，由－b-18=-3a-18，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；

當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有，且的取值范圍是。

第（Ⅰ）問問的是證明 “不是等比數(shù)列”，這樣的問題顯然用“反證法”；第（Ⅱ）正著問，那就順著推；第（Ⅲ）問要先求和再解建立不等式。