定義在R上的函數(shù)，，當(dāng)x＞0時(shí)，，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.

（1）求證：f（0）=1；

（2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；

（3）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；

（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范圍.

略


解析:

抽象函數(shù)問題要充分利用“恒成立”進(jìn)行“賦值”，從關(guān)鍵等式和不等式的特點(diǎn)入手。

（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f 2（0）.

又f（0）≠0，∴f（0）=1.

（2）證明：當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，

∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.

∴f（－x）=＞0.又x≥0時(shí)f（x）≥1＞0，

∴x∈R時(shí)，恒有f（x）＞0.

（3）證明：設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0.

∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.

∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.

又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.

∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函數(shù).

（4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函數(shù)，

∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，且滿足以下條件：
①f(x)=
g(x)
ax
（a＞0，且a≠1）；
②g（x）≠0；
③f（x）?g′（x）＞f′（x）?g（x）．
若
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，則a等于（　　）
A、
1
2
B、
5
4
C、2
D、2或
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=
1
|x-1|
，x≠1
1，x=1
，若關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0，有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1+x2+x3=（　�。�
A、0B、1C、3D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足：對任意的x，y∈R都有f(x)+f(y)=f(
x2+y2
)成立，f（1）=1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（-1）的值，并判斷y=f（x）的奇偶性；
（2）證明：y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增；
（3）若關(guān)于x的方程2f(x)=f(
a(x-1)
x+1
)在（2，+∞）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）-f（-x）=0，且f（x）在區(qū)間（-∞，0]上遞減，且有f（a+1）＞f（2a-1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，其圖象是四分之一圓（如圖所示），則函數(shù)H（x）=|xex|-f（x）在區(qū)間[-3，1]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�
A、5B、4C、3D、2

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