Question

10．如圖所示，圓O的半徑為R，A、B、C為圓O上不同的三點(diǎn)，圓心O在線段AC上．
（1）當(dāng)AB=4，BC=3時(shí)，在圓O內(nèi)任取一點(diǎn)P，求所取點(diǎn)P恰好位于△ABC內(nèi)的概率；
（2）當(dāng)R=1，B點(diǎn)為圓O上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)在圓O內(nèi)任取一點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q位于△ABC內(nèi)的概率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，求出圓O的面積與△ABC的面積，計(jì)算點(diǎn)P恰好位于△ABC內(nèi)的概率值；
（2）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出對(duì)應(yīng)△ABC的面積，計(jì)算點(diǎn)Q位于△ABC內(nèi)的概率與取值范圍．

解答 解：（1）記“所求點(diǎn)恰好位于△ABC內(nèi)”為事件A，
∵AC為原O的直徑，
∴2R=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，半徑R=$\frac{5}{2}$，
∴圓O的面積為S_圓O=π•${（\frac{5}{2}）}^{2}$=$\frac{25π}{4}$；
又∵△ABC的面積為S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴點(diǎn)P恰好位于△ABC內(nèi)的概率為
P（A）=$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{圓O}}$=$\frac{6}{\frac{25π}{4}}$=$\frac{24}{25π}$；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，直線AC為x軸，以過O點(diǎn)并垂直于直線AC的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
則有A（-1，0），C（1，0），設(shè)B（x，y）；
記“所取點(diǎn)Q位于△ABC內(nèi)”為事件B，
則由題設(shè)知-1＜x＜1，R²=x²+y²=1，
∵$\overrightarrow{AB}$=（x+1，y），$\overrightarrow{CB}$=（x-1，y），
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+y}^{2}}$=$\sqrt{2+2x}$，
|$\overrightarrow{CB}$|=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}$=$\sqrt{2-2x}$，
∴△ABC的面積為
S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•|$\overrightarrow{CB}$|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2+2x}$•$\sqrt{2-2x}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4-{4x}^{2}}$；
又∵-1＜x＜1，∴0＜4-4x²＜4，
∴0＜S_△ABC＜1；
又∵S_圓O=π×1²=π，
∴P（B）=$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{圓O}}$，
∴點(diǎn)Q位于△ABC內(nèi)的概率取值范圍為0＜P（B）＜$\frac{1}{π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型的概率應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)求出對(duì)應(yīng)幾何圖形的面積比值即可，是綜合性題目．