Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直線l：y=k（x+3），
（1）若直線l與C有兩個不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時，直線l截橢圓C的弦長．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程組消元，令判別式△＞0即可；
（2）聯(lián)立方程組消元，得出交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，代入弦長公式計算．

解答 解：（1）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x+3）}\end{array}\right.$，消元得（3+4k²）x²+24k²x+36k²-12=0，
∵直線l與C有兩個不同的公共點(diǎn)，
∴△=576k⁴-4（3+4k²）（36k²-12）＞0，
解得：$-\frac{3}{5}＜k＜\frac{3}{5}$．
（2）k=$\frac{1}{2}$時，直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$（x+3）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=\frac{1}{2}（x+3）}\end{array}\right.$，消元得4x²+6x-3=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-$\frac{3}{4}$．
∴直線l截橢圓C的弦長為$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$×$\sqrt{\frac{9}{4}+3}$=$\frac{\sqrt{105}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，屬于中檔題．