Question

19．由曲線y=-x²+x+2與其在點A（2，0）和點B（-1，0）處的切線所圍成圖形的面積為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 欲求切線的方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合A（2，0）和點B（-1，0）都在拋物線上，即可求出切線的方程，然后可得直線與拋物線的交點的坐標(biāo)和兩切線與x軸交點的坐標(biāo)，最后根據(jù)定積分在求面積中的應(yīng)用公式即可求得所圍成的面積S即可．

解答 解：對y=-x²+x+2求導(dǎo)可得，y′=-2x+1
∴拋物線=-x²+x+2在點A（2，0）和點B（-1，0）處的兩條切線的斜率分別為-3，3
從而可得曲線y=-x²+x+2在點A（2，0）和點B（-1，0）處的兩條切線方程分別為
l₁：3x+y-6=0，l₂：3x-y+3=0
聯(lián)立，求得交點C（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
所以S=S_△ABC-${∫}_{-1}^{2}$（-x²+x+2）dx=$\frac{1}{2}×3×\frac{9}{2}$-（-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2x）${|}_{-1}^{2}$=$\frac{27}{4}$-$\frac{9}{2}$=$\frac{9}{4}$．
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點評 本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、定積分在求面積中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．