Question

2．若直線x+y=1與曲線y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$（a＞0）恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是a=$\frac{1}{2}$或a＞1．

Answer 1

分析 將曲線y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$（a＞0）看成一個(gè)半圓，畫出直線x+y=1與半圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的情況，求解a的取值范圍即可．

解答 解：由曲線y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$（a＞0），知y≥0，
等式兩邊同時(shí)平方，整理可得x²+y²=a²，
即曲線y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$（a＞0）是以（0，0）點(diǎn)為圓心，以$\sqrt{a}$為半徑的半圓（y≥0）
已知直線x+y=1，可在直角坐標(biāo)系中給出圖象（如下圖）
由圖象可知，當(dāng)半圓的半徑$\sqrt{a}$＞1即a＞1時(shí)或者半圓與直線相切時(shí)恰有一個(gè)公共交點(diǎn)，
當(dāng)半圓與直線相切時(shí)，圓心（0，0）到直線的距離即為半圓的半徑，此時(shí)$\sqrt{a}=\frac{|0×1+0×1-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\frac{1}{2}$
所以當(dāng)直線x+y=1與曲線y=$\sqrt{a-{x}^{2}}$（a＞0）恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是a=$\frac{1}{2}$或a＞1．
故答案為：a=$\frac{1}{2}$或a＞1．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于直線和圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，采用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)考慮較為直觀、簡(jiǎn)單．