Question

【題目】如圖所示，在多面體A1B1D1-DCBA中,四邊形AA1B1B，ADD1A1,ABCD均為正方形，E為B1D1的中點(diǎn) ，過(guò)A1 ， D，E的平面交CD 1于F。

（1）證明：EF∥B1C
（2）求二面角E-A1D-B1的余弦。

Answer 1

【答案】
（1）

證明：依據(jù)正方形的性質(zhì)可知A1B1//AB//DC,且A1B1=AB=DC,從而A1B1CD為平行四邊形，則B1C//A1D,根據(jù)線面平行的判斷定理知B1C//面A1DE，再由線面平行性質(zhì)定理知EF//B1C.

（2）

解：因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B,ADD1A1,ABCD均為正方形，所以AA1AB,AA1AD,ADAB,且AA1=AB=AD，可以建以A為原點(diǎn)，分別為,，為x軸，y軸，z軸單位正向量的平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出面A1DE的法向量=(r1,s1,t1)由此得r1,s1,t1應(yīng)滿足方程組,(-1,1)尾氣中一組解，所以可取=(-1,1,1),同理A1B1CD的法向量=（0,1，1）所以結(jié)合圖形知二面角E-A1D-B的余弦值

=

【解析】
（2）因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B,ADD1A1,ABCD均為正方形，所以AA1AB,AA1AD,ADAB,且AA1=AB=AD，可以建以A為原點(diǎn)，分別為,，為x軸，y軸，z軸單位正向量的平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出面A1DE的法向量=(r1,s1,t1)由此得r1,s1,t1應(yīng)滿足方程組,(-1,1)為其中一組解，所以可取=(-1,1,1),同理A1B1CD的法向量=（0,1，1）所以結(jié)合圖形知二面角E-A1D-B的余弦值
=。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的向量語(yǔ)言表述線面的垂直、平行關(guān)系，需要了解要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可;設(shè)直線的方向向量是，平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為，若才能得出正確答案．