Question

【題目】(2015·湖北）設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）求，的解析式，并證明：當(dāng)時，，；
（Ⅱ）設(shè)，，證明：當(dāng)時，.

Answer 1

【答案】見解答
【解析】 （Ⅰ）由 ， 的奇偶性及，①得：②聯(lián)立①②解得
，.證明：當(dāng)時，，，故 ③
又由基本不等式，有，即 ④
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
⑥
當(dāng)時，等價于 ⑦ 等價于 ⑧于是設(shè)函數(shù) ，由⑤⑥，有 .當(dāng)時，（1）若，由③④，得，故在上為增函數(shù)，從而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上為減函數(shù)，從而，即，故⑧成立.綜合⑦⑧，得 .

【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和正弦函數(shù)的奇偶性，需要了解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；正弦函數(shù)為奇函數(shù)才能得出正確答案．