Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+log_a（x-1）（其中a＞0且a≠1）．
（1）若，求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；
（2）若f（x）在x∈[2，3]上的最小值為4，求a的值．

Answer 1

解（1）∵a=＜1，
∴f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[1，2]上為減函數(shù)．…（3分）
∴f（x）在x∈[1，2]上的x=2取最小值 …（5分）
最小值為f（2）=+=…（7分）
（2）如果0＜a＜1，則f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[2，3]上為減函數(shù)，
∴f（x）在x∈[2，3]上的最小值為f（3）=a³+log_a2=4，又a³＜1，log_a2＜0，
∴f（3）=4無解．…（10分）
如果a＞1，則f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[2，3]上為增函數(shù)，
∴f（x）在x∈[2，3]上的最小值為f（2）=a²+log_a1=4，
∴a=2．
綜合得a的值為2．…（14分）
分析：（1）由于a=＜1，f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[1，2]上為減函數(shù)，從而可求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；
（2）對(duì)a分0＜a＜1與a＞1兩種情況討論，利用f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[2，3]上的單調(diào)性得到關(guān)于a的關(guān)系式，解之即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論思想與方程思想的綜合運(yùn)用，考查分析運(yùn)算能力，屬于中檔題．