Question

7．已知函數(shù)f（x）=xsinθ+cosθ，其中θ∈[0，2π）．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）為減函數(shù)，求θ的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求lnf（sinθ）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義和三角函數(shù)圖象和性質(zhì)即可求出；
（2）先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求出θ的值，再求出答案即可．

解答 解：（Ⅰ）設x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁sinθ+cosθ-x₂sinθ-cosθ=（x₁-x₂）sinθ，
∵f（x）在（-∞，+∞）為減函數(shù)，x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴（x₁-x₂）sinθ＞0，
∴sinθ＜0，
∵θ∈[0，2π），
∴θ∈（π，2π）；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-xsinθ+cosθ=-f（x）=-xsinθ-cosθ，
∴cosθ=0，
∵θ∈[0，2π），
∴θ=$\frac{π}{2}$，或θ=$\frac{3π}{2}$，
∴sinθ=1，或sinθ=-1，
當θ=$\frac{π}{2}$時，f（x）=x，則f（1）=1，則lnf（sinθ）=0，
當θ=$\frac{3π}{2}$時，f（x）=-x，則f（-1）=1，則lnf（sinθ）=0，
綜上所述，lnf（sinθ）=0．

點評 本題考查了以三角函數(shù)為載體考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于中檔題．