Question

【題目】方程 在（0，2π）內(nèi)有相異兩解α，β，則α+β=

Answer 1

【答案】或
【解析】解：∵sinx+ cosx+a=0，
∴﹣a=sinx+ cosx=2（ sinx+ cosx）=2sin（x+ ），
令f（x）=2sin（x+ ），y=﹣a，
∵0＜x＜2π，
∴ ＜x+ ＜2π+ = ，
在同一坐標(biāo)系中作出f（x）=2sin（x+ ）與y=﹣a的圖象，

由圖知，當(dāng)x= ，即x+ = 時(shí)，f（x）取到最大值2，當(dāng)x= 時(shí)，x+ = + = ，f（x）取到最小值﹣2；
方程sinx+ cosx+a=0在（0，2π）內(nèi)有相異兩解α，β直線y=﹣a與曲線f（x）=2sin（x+ ）在（0，2π）內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為α1與β1時(shí)，α1+β1= ；
當(dāng)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為α2與β2時(shí)，α2+β2= ；
∴α+β= 或 ．
所以答案是： 或 ．
【考點(diǎn)精析】掌握兩角和與差的正弦公式和函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系是解答本題的根本，需要知道兩角和與差的正弦公式：；二次函數(shù)的零點(diǎn)：（1）△＞0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);（2）△＝0，方程 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);（3）△＜0，方程 無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．