Question

在直角坐標(biāo)系中，已知一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線(xiàn)段PP′，P′為垂足.
（1）求線(xiàn)段PP′中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q(－2,0)作直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N是過(guò)點(diǎn)，且以為方向向量的直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），問(wèn)是否存在這樣的直線(xiàn)l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）軌跡C的方程為
（2）存在直線(xiàn)l使四邊形OANB為矩形，直線(xiàn)l的方程為

（1）設(shè)M(x，y)是所求曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，P（x₁，y₁）是方程x² +y² =4的圓上的任意一點(diǎn)，則
則有：得，
軌跡C的方程為 
（1）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，與橢圓無(wú)交點(diǎn).
所以設(shè)直線(xiàn)l的方程為y = k(x+2)，與橢圓交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)兩點(diǎn)，N點(diǎn)所在直線(xiàn)方程為
由
由△=
即 …   
即，∴四邊形OANB為平行四邊形
假設(shè)存在矩形OANB，則，即，
即，
于是有   得 … 設(shè)，
即點(diǎn)N在直線(xiàn)上.
∴存在直線(xiàn)l使四邊形OANB為矩形，直線(xiàn)l的方程為