Question

已知焦距為2

6

的橢圓中心在原點O，短軸的一個端點為(0，

2

)，點M為直線y=

1

2

x與該橢圓在第一象限內(nèi)的交點，平行OM的直線l交橢圓與A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：直線MA，MB與x軸圍成的三角形恒為等腰三角形．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，聯(lián)立

2c=2 6 b= 2

，a²=b²+c²，解得即可；
（II）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，由題意M（2，1），設(shè)直線l的方程為y=

1

2

x+m．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用斜率計算公式只有證明k₁+k₂=0即可．

解答： （I）解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
聯(lián)立

2c=2 6 b= 2

，a²=b²+c²，解得a=2

2

． 
所以橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）證明：由題意M（2，1），設(shè)直線l的方程為y=

1

2

x+m．
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2mx+2m²-4=0，
設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

由x²+2mx+2m²-4=0，可得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．
k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0，即k₁+k₂=0．
∴直線MA，MB與x軸圍成的三角形恒為等腰三角形．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．