Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為2，前n項和為S_n，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=（-1）^n-1

4n

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）總結(jié)求解數(shù)列通項以及數(shù)列求和�？挤绞郊皩�應(yīng)特征．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，由S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列列式求得a₁=1．代入等差數(shù)列的通項公式得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=（-1）^n-1

4n

anan+1

．列項后分n為偶數(shù)和奇數(shù)求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）除常見的等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式外，求解數(shù)列通項公式常見方法有累加法、累積法、構(gòu)造法等；求解數(shù)列的和，除等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和外，還有分組求和、裂項相消法求和、錯位相減法求和等．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，由S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，
得(2a1+d)2=a1(4a1+6d)，即(2a1+2)2=a1(4a1+12)，
解得：a₁=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）b_n=（-1）^n-1

4n

anan+1

=(-1)n-1

4n

(2n-1)(2n+1)

=(-1)n-1(

1

2n-1

+

1

2n+1

)．
當(dāng)n為偶數(shù)時，
Tn=1+

1

3

-

1

3

-

1

5

+

1

5

+

1

7

+…-

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

；
當(dāng)n為奇數(shù)時，
Tn=1+

1

3

-

1

3

-

1

5

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n-1

+

1

2n+1

=1+

1

2n+1

=

2n+2

2n+1

．
（3）求解數(shù)列通項公式常見方法：
①已知數(shù)列{a_n}的首項a₁，給出a_n+1-a_n=f（n）（f（n）的前n項和可求），常用累加法；
②已知數(shù)列{a_n}的首項a₁，給出

an+1

an

=f(n)（f（n）的前n項積可求），常用累積法；
③已知數(shù)列{a_n}的首項a₁，且滿足遞推式a_n+1=pa_n+q，常利用構(gòu)造以p為公比的等比數(shù)列求解；
④比較繁瑣的數(shù)列遞推式，如a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=f（n），常取n=n-1得另一遞推式，然后采用作差或作商的形式求解．
求解數(shù)列的和，除等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和外，還有分組求和、裂項相消法求和、錯位相減法求和等，對于裂項相消法，一般涉及到一個等差數(shù)列的連續(xù)兩項的乘積的倒數(shù)，如數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和，列項為

1

anan+1

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)；
錯位相減法，一般適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的積數(shù)列求和，辦法是采用等式兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．