Question

已知(x

x

-

1

x

)6的二項展開式中的第5項的值等于5，數(shù)列{

1

(2+x)n

}的前n項為S_n，則

lim

n→∞

Sn=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的極限,數(shù)列的求和,二項式定理的應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由二項展開式中的通項公式可得T₅=

∁

4 6

(x

x

)2×(-

1

x

)4=

15

x

=5，解得x=3．可得數(shù)列{

1

(2+x)n

}的通項a_n=

1

5n

．其前n項為S_n=

1

4

(1-

1

5n

)，利用數(shù)列極限的運算法則即可得出．

解答： 解：T₅=

∁

4 6

(x

x

)2×(-

1

x

)4=

15

x

=5，解得x=3．
數(shù)列{

1

(2+x)n

}的通項a_n=

1

5n

．
其前n項為S_n=

1 5 (1- 1 5n )

1- 1 5

=

1

4

(1-

1

5n

)
則

lim

n→∞

Sn=

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點評：本題考查了二項展開式中的通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式、數(shù)列極限的運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．