Question

3．為了對(duì)2016年某校中考成績(jī)進(jìn)行分析，在60分以上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽出8位，他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)（已折算為百分制）從小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分?jǐn)?shù)從小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．
（1）若規(guī)定85分以上為優(yōu)秀，求這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率；
（2）若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)事實(shí)上對(duì)應(yīng)如下表：

學(xué)生編號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分?jǐn)?shù)y	72	77	80	84	88	90	93	95
化學(xué)分?jǐn)?shù)z	67	72	76	80	84	87	90	92

①用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說(shuō)明物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度；
②求y與x、z與x的線(xiàn)性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），當(dāng)某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分時(shí)，估計(jì)其物理、化學(xué)兩科的得分．
參考公式：相關(guān)系數(shù)$r=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}（{{y_i}-\overline y}）}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}•\sum_{i=1}^n{{{（{{y_i}-\overline y}）}^2}}}}$，
回歸直線(xiàn)方程是：$\hat y=bx+a$，其中$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$，
參考數(shù)據(jù)：$\overline x=77.5，\overline y=85，\overline z=81，\sum_{i=1}^8{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}≈1050，\sum_{i=1}^8{{{（{{y_i}-\overline y}）}^2}≈456}}$，$\sum_{i=1}^8{{{（{{z_i}-\overline z}）}^2}}≈550，\sum_{i=1}^8{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）≈688}$，$\sum_{i=1}^8{（{{x_i}-\overline x}）（{{z_i}-\overline z}）≈755}，\sqrt{1050}≈32.4$，$\sqrt{456}≈21.4，\sqrt{550}≈23.5$．

Answer 1

分析 （1）求出從這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的基本事件數(shù)，
以及這8位同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分別對(duì)應(yīng)基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值；
（2）①變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)，得出物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)成績(jī)都是高度正相關(guān)；
②求出y與x、z與x的線(xiàn)性回歸方程，由此計(jì)算x=50時(shí)y與z的值即可．

解答 解：（1）這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀，
則需要先從物理4 個(gè)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)中選出3個(gè)與數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)，
不同的種數(shù)是${C}_{4}^{3}$${A}_{3}^{3}$（或${A}_{4}^{3}$），
然后剩下的5個(gè)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對(duì)應(yīng)，不同的種數(shù)是$A_5^5$；
根據(jù)乘法原理，滿(mǎn)足條件的不同種數(shù)是$C_4^3A_3^3A_5^5$；
這8位同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分別對(duì)應(yīng)種數(shù)共有$A_8^8$，
故所求的概率為$P=\frac{C_4^3A_3^3A_5^5}{A_8^8}=\frac{1}{14}$；
（2）①變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)分別是
$r=\frac{688}{32.4×21.4}≈0.99、r'=\frac{755}{32.4×23.5}≈0.99$，
可以看出：物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)成績(jī)都是高度正相關(guān)；
②設(shè)y與x、z與x的線(xiàn)性回歸方程分別是$\hat y=bx+a、\hat z=b'x+a'$，
根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，計(jì)算出
$b=\frac{688}{1050}=0.66，a=85-0.66×77.5=33.85$，
$b'=\frac{755}{1050}=0.72，a'=81-0.72×77.5=25.20$，
所以y與x、z與x的回歸方程分別是
$\hat y=0.66x+33.85$、$\hat z=0.72x+25.20…$，
當(dāng)x=50時(shí)，$\hat y=66.85，\hat z=61.2$，
∴當(dāng)該生的數(shù)學(xué)為50分時(shí)，其物理、化學(xué)成績(jī)分別約為66.85分、61.2分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型的概率與線(xiàn)性回歸方程的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．