Question

已知函數(shù)f（x）=4x³-3x²sinθ+

1

32

，其中x∈R，θ為參數(shù)，且0≤θ＜π．
（1）當(dāng)θ=0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）是否有極值，說(shuō)明理由；
（2）要使函數(shù)f（x）的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可判定是否有極值．
（2）求出極值點(diǎn)，f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值，求出極小值，使函數(shù)f（x）的極小值小于零建立不等關(guān)系，求出參數(shù)θ的取值范圍即可．

解答： 解：（1）當(dāng)θ=0時(shí)，f（x）=4x³+

1

32

，則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
故無(wú)極值．
（2）f'（x）=12x²-6xsinθ
令f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=

sinθ

2

，
由θ∈[0，π）知sinθ≥0，函數(shù)在（0，

sinθ

2

）上單調(diào)遞減，在（

sinθ

2

，π）上單調(diào)遞增，
因此，函數(shù)f（x）在x=

sinθ

2

處取得極小值f（

sinθ

2

）=-

1

4

sin³θ+

1

32

，
要使f（，π））＞0，必有-

1

4

sin³θ+

1

32

＞0
整理得0＜sinθ＜

1

2

，
又θ∈[0，π），
解得θ∈[0，

π

6

）∪（

5π

6

，π）．
所以θ的取值范圍是θ∈[0，

π

6

）∪（

5π

6

，π）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力．