Question

已知橢圓E：＋y2＝1(a＞1)的上頂點(diǎn)為M(0，1)，兩條過(guò)M的動(dòng)弦MA、MB滿(mǎn)足MA⊥MB.

(1)當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓E的準(zhǔn)線(xiàn)距離最短時(shí)，求橢圓E的方程；

(2)若Rt△MAB面積的最大值為，求a；

(3)對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a(a＞1)，動(dòng)直線(xiàn)AB是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？如果經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)(用a表示)；反之，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1.（2）a＝3（3）

【解析】(1)由題，a2＝c2＋1，d＝＝＝c＋≥2，當(dāng)c＝1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a2＝1＋1＝2，故橢圓E的方程為＋y2＝1.

(2)不妨設(shè)直線(xiàn)MA的斜率k>0，直線(xiàn)MA方程為y＝kx＋1，由

①代入②整理得(a2k2＋1)x2＋2a2kx＝0，

解得xA＝－，故A，

由MA⊥MB知直線(xiàn)MB的斜率為－，可得B，

則MA＝，MB＝.

則S△MAB＝MA·MB＝(1＋k2)

＝.

令k＋＝t(t≥2)，

則S△MAB＝.

當(dāng)t＝時(shí)取“＝”，∵t＝≥2，得a>＋1.而(S△MAB)max＝，故a＝3或a＝(舍)．綜上a＝3.

(3)由對(duì)稱(chēng)性，若存在定點(diǎn)，則必在y軸上．

當(dāng)k＝1時(shí)，A，直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)Q.下面證明A、Q、B三點(diǎn)共線(xiàn)：

∵kAQ＝，

kBQ＝.

由kAQ＝kBQ知A、Q、B三點(diǎn)共線(xiàn)，即直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)Q.