已知橢圓C的方程為＝1(a>b>0)，雙曲線＝1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1.又l與l2交于P點，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B(如圖)．

(1)當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)＝λ，求λ的最大值．

 

（1）＋y2＝1（2）－1

【解析】(1)∵雙曲線的漸近線為y＝±x，兩漸近線夾角為60°，又<1，∴∠POx＝30°，

即＝tan30°＝.∴a＝b.又a2＋b2＝4，∴a2＝3，b2＝1.

故橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2)由已知l：y＝(x－c)，與y＝x解得P.

由＝λ，得A.

將A點坐標(biāo)代入橢圓方程，得(c2＋λa2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2.∴(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2.

∴λ2＝＋3≤3－2.∴λ的最大值為－1

 

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若直線y＝x＋b與曲線y＝3－有公共點，則b的取值范圍是________．

 

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點(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是________．

 

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已知點P1(2，3)、P2(－4，5)和A(－1，2)，求過點A且與點P1、P2距離相等的直線方程．

 

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若直線l經(jīng)過直線2x－y＋3＝0和3x－y＋2＝0的交點，且垂直于直線y＝2x－1，則直線l的方程為______________．

 

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已知橢圓E：＋y2＝1(a＞1)的上頂點為M(0，1)，兩條過M的動弦MA、MB滿足MA⊥MB.

(1)當(dāng)坐標(biāo)原點到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短時，求橢圓E的方程；

(2)若Rt△MAB面積的最大值為，求a；

(3)對于給定的實數(shù)a(a＞1)，動直線AB是否經(jīng)過一定點？如果經(jīng)過，求出定點坐標(biāo)(用a表示)；反之，說明理由．

 

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已知橢圓＋y2＝1的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點．

(1)當(dāng)直線AM的斜率為1時，求點M的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由．

 

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如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：(x＋1)2＋y2＝16，點F(1，0)，E是圓C上的一個動點，EF的垂直平分線PQ與CE交于點B，與EF交于點D.

(1)求點B的軌跡方程；

(2)當(dāng)點D位于y軸的正半軸上時，求直線PQ的方程；

(3)若G是圓C上的另一個動點，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

 

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已知向量，，設(shè)函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最小正周期；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．

 

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