Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＝1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(t，m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.

(1)設(shè)動點(diǎn)P滿足PF2－PB2＝4，求點(diǎn)P的軌跡；

(2)設(shè)x1＝2，x2＝，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3)設(shè)t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))．

 

Answer 1

（1）x＝（2）（3）見解析

【解析】(1)【解析】
設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF2－PB2＝4，得(x－2)2＋y2－[(x－3)2＋y2]＝4，化簡得x＝，故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x＝.

(2)【解析】
將x1＝2，x2＝分別代入橢圓方程，以及y1>0，y2<0得M、N.直線MTA的方程為，即y＝x＋1.直線NTB的方程為，即y＝x－.聯(lián)立方程組，解得所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為.

(3)證明：點(diǎn)T的坐標(biāo)為(9，m)，直線MTA的方程為，即y＝(x＋3)．直線NTB的方程為，即y＝(x－3)．

分別與橢圓＝1聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到x1≠－3，x2≠3，解得

M、N

(證法1)當(dāng)x1≠x2時(shí)，直線MN的方程為，令y＝0，解得x＝1，此時(shí)必過點(diǎn)D(1，0)；當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線MN的方程為x＝1，與x軸交點(diǎn)為D(1，0)，所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D(1，0)．

(證法2)若x1＝x2，則由及m>0，得m＝2，此時(shí)直線MN的方程為x＝1，

過點(diǎn)D(1，0)．若x1≠x2，則m≠2.直線MD的斜率kMD＝，

直線ND的斜率kND＝，得kMD＝kND，所以直線MN過D點(diǎn)．

因此，直線MN必過x軸上的點(diǎn)D(1，0)．