Question

如圖，已知的直徑，點(diǎn)、為上兩點(diǎn)，且，，為弧的中點(diǎn)．將沿直徑折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（1）求證：；

（2）在弧上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，試指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）求二面角的正弦值.

 

Answer 1

(1)證明過程詳見解析（2）在弧上存在點(diǎn),且點(diǎn)為弧的中點(diǎn);（3）。

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)CO，則CO⊥AB，證明∠FOB=∠CAB，從而得出OF∥AC；（2）找出弧BD的中點(diǎn)G，證明OG∥AD，由（1）知，OF∥AC，先證明線面平行，在證明面面平行；（3）用三垂線法作出二面角C-AD—B的平面角，再通過解三角形，求出二面角平面角的余弦值，或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明平行和求二面角.

試題解析:（法一）：證明：（1）如右圖，連接，

，，

又為弧的中點(diǎn)，，．

（2）取弧的中點(diǎn)，連接，

則，故，

由（1），知平面，故平面平面，

則平面，因此，在弧上存在點(diǎn)，使得平面，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)．

（3）過作于，連．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718572558555531/SYS201411171857318983959513_DA/SYS201411171857318983959513_DA.025.png">，平面平面，故平面．

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718572558555531/SYS201411171857318983959513_DA/SYS201411171857318983959513_DA.029.png">平面，故，所以平面，，

則是二面角的平面角，又，，故．

由平面，平面，得為直角三角形，

又，故，可得==，故二面角的正弦值為.

（法二）：證明：（1）如圖，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以為原點(diǎn)，作空間直角坐標(biāo)系，

則，

，

點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，，即．

（2）設(shè)在弧上存在點(diǎn)，使得平面，

由（1），知平面，平面平面，則有．

設(shè)，，．又，

，解得(舍去)．，則為弧的中點(diǎn)．

因此，在弧上存在點(diǎn)，使得平面，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)．

（3），點(diǎn)的坐標(biāo)，．

設(shè)二面角的大小為，為平面的一個(gè)法向量．

由有即

取，解得，．，取平面的一個(gè)法向量，

，故二面角的正弦值為.

考點(diǎn)：1.空間線線、線面、面面平行的判定與性質(zhì)；2.二面角的計(jì)算；3.空間想象能力、推理論證能力、計(jì)算求解能力.