Question

19．已知函數(shù)f（x）=（3x+1）e^x+1+mx（m≥-4e），若有且僅有兩個整數(shù)使得f（x）≤0，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{5}{e}$，2]
• B． [-$\frac{5}{2e}$，-$\frac{8}{{3{e^2}}}$）
• C． [-$\frac{1}{2}$，-$\frac{8}{{3{e^2}}}$）
• D． [-4e，-$\frac{5}{2e}$）

Answer 1

分析 根據(jù)不等式的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)g（x）=mx，h（x）=-（3x+1）e^x+1，利用g（x）≤h（x）的整數(shù)解只有2個，建立不等式關(guān)系進行求解即可．

解答 解：由f（x）≤0得（3x+1）e^x+1+mx≤0，
即mx≤-（3x+1）e^x+1，
設(shè)g（x）=mx，h（x）=-（3x+1）e^x+1，
h′（x）=-（3e^x+1+（3x+1）e^x+1）=-（3x+4）e^x+1，
由h′（x）＞0得-（3x+4）＞0，即x＜-$\frac{4}{3}$，
由h′（x）＜0得-（3x+4）＜0，即x＞-$\frac{4}{3}$，
即當(dāng)x=-$\frac{4}{3}$時，函數(shù)h（x）取得極大值，
當(dāng)m≥0時，滿足g（x）≤h（x）的整數(shù)解超過2個，不滿足條件．
當(dāng)m＜0時，要使g（x）≤h（x）的整數(shù)解只有2個，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）≥g（-2）}\\{h（-3）＜g（-3）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{5{e}^{-1}≥-2m}\\{8{e}^{-2}＜-3m}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≥-\frac{5}{2e}}\\{m＜-\frac{8}{3{e}^{2}}}\end{array}\right.$，即-$\frac{5}{2e}$≤m＜-$\frac{8}{{3{e^2}}}$，
即實數(shù)m的取值范圍是[-$\frac{5}{2e}$，-$\frac{8}{{3{e^2}}}$），
故選：B

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及利用構(gòu)造法，構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．