Question

11．已知|${\overrightarrow a}$|=1，|${\overrightarrow b}$|=$\sqrt{2}$．
（1）若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$；
（2）若$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為135°，求|${\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|；
（3）若$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$垂直，求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$時(shí)兩向量的方向相同或相反，所成角為0°或180°．根據(jù)數(shù)量積公式$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|cosθ$可求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的值．
（2）先求模的平方將問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題．
（3）兩向量垂直則其數(shù)量積為0，根據(jù)數(shù)量積公式即可求得兩向量的夾角．

解答 解：（1）當(dāng)$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$時(shí)，$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角θ=0°或180°．
因?yàn)?|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$，所以$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|cosθ=\sqrt{2}cosθ$．
當(dāng)θ=0°時(shí)，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\sqrt{2}cos{0°}=\sqrt{2}$．
當(dāng)θ=180°時(shí)，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\sqrt{2}cos{180°}=-\sqrt{2}$．
（2）${|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|^2}={\overrightarrow a^2}+{\overrightarrow b^2}+2\overrightarrow a•\overrightarrow b={|{\overrightarrow a}|^2}+{|{\overrightarrow b}|^2}+2|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|cos{135°}=1+2+2×1×\sqrt{2}×（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=1$，所以$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=1$．
（3）設(shè)$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角θ．
當(dāng)$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$垂直時(shí)，$（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）•\overrightarrow a={\overrightarrow a^2}-\overrightarrow a•\overrightarrow b={|{\overrightarrow a}|^2}-|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|cosθ=1-\sqrt{2}cosθ=0$，所以$cosθ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
因?yàn)?°≤θ≤180°，所以θ=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模，以及向量的垂直的條件，屬于中檔題．