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13.已知f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)函數(shù),且對?x∈(0,∞),都有f[f(x)-lnx]=e+1,設(shè)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)g(x)=f(x)-f′(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( �。�
A.0B.lC.2D.3

分析 由設(shè)t=f(x)-lnx,則f(x)=lnx+t,又由f(t)=e+1,求出f(x)=lnx+e,從而求出g(x)的解析式,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.

解答 解:根據(jù)題意,對任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-lnx]=e+1,
又由f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),
則f(x)-lnx為定值,
設(shè)t=f(x)-lnx,
則f(x)=lnx+t,
又由f(t)=e+1,
即lnt+t=e+1,
解得:t=e,
則f(x)=lnx+e,f′(x)=1x>0,
故g(x)=lnx+e-1x,則g′(x)=1x+1x2>0,
故g(x)在(0,+∞)遞增,
而g(1)=e-1>0,g(1e)=-1<0,
存在x0∈(1e,1),使得g(x0)=0,
故函數(shù)g(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn),
故選:B.

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和零點(diǎn)存在定理,關(guān)鍵是求出f(x),屬于中檔題.

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