Question

5．設(shè)f'（x）是函數(shù)f（x）在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)，若f（0）=1且f'（x）-2f（x）=0，則不等式f（ln（x²-x））＜4的解集為（-1，0）∪（1，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，不妨設(shè)f（x）=e^2x，x∈R，則f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，把不等式f（ln（x²-x））＜4化為ln（x²-x）＜ln2，從而求出不等式的解集．

解答 解：根據(jù)題意，不妨設(shè)f（x）=e^2x，x∈R，
則f′（x）=2e^2x，滿足f（0）=e⁰=1，且f′（x）-2f（x）=0；
所以f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；
又4=e^ln4=e^2ln2=f（ln2），
所以不等式f（ln（x²-x））＜4等價于ln（x²-x）＜ln2，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x＞0}\\{{x}^{2}-x＜2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x＞1或x＜0}\\{-1＜x＜2}\end{array}\right.$，
即-1＜x＜0或1＜x＜2；
所以該不等式的解集為（-1，0）∪（1，2）．
故答案為：（-1，0）∪（1，2）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了構(gòu)造函數(shù)的解題方法，是綜合性題目．