【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面ABCD為直角梯形,,,,點E為AD的中點,,平面ABCD,且
求證:;
線段PC上是否存在一點F,使二面角的余弦值是?若存在,請找出點F的位置;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】
推導出,,從而,由平面,得,由此能證明平面,從而
推導出兩兩垂直,建立以為坐標原點,所在直線分別為,,軸的坐標系,利用向量法能求出線段上存在一點,當點滿足時,二面角的余弦值是
證明:,,,
,E為AD的中點,,
≌,,
,,,
又平面ABCD,平面ABCD,,
又,且PH,平面PEC,平面PEC,
又平面PEC,.
解:由可知∽,
由題意得,,
,
,,,,
、EC、BD兩兩垂直,
建立以H為坐標原點,HB、HC、HP所在直線分別為x,y,z軸的坐標系,
0,,0,,4,,0,,0,,
假設線段PC上存在一點F滿足題意,
與共線,存在唯一實數(shù),,滿足,
解得,
設向量y,為平面CPD的一個法向量,且,,
,取,得,
同理得平面CPD的一個法向量,
二面角的余弦值是,
,
由,解得,
,
,
線段PC上存在一點F,當點F滿足時,二面角的余弦值是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】求下列函數(shù)的解析式:
(1)已知f(x)是二次函數(shù),且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求f(x);
(2)已知3f(x)+2f(-x)=x+3,求f(x).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(且)是定義在上的奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的值域;
(3)當時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】今年,樓市火爆,特別是一線城市.某一線城市采取“限價房”搖號制度,客戶以家庭為單位進行抽簽,若有套房源,則設置個中獎簽,客戶抽到中獎簽視為中簽,中簽家庭可以在指定小區(qū)提供的房源中隨機抽取一個房號,現(xiàn)共有20戶家庭去抽取6套房源.
(l)求每個家庭能中簽的概率;
(2)已知甲、乙兩個友好家庭均已中簽,并共同前往某指定小區(qū)抽取房號,目前該小區(qū)剩余房源有某單元27、28兩個樓層共6套房,其中,第27層有2套房,第28層有4套房.記甲、乙兩個家庭抽取到第28層的房源套數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時)
(1)應收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)?
(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù),得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為:.估計該校學生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率.
(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運動時間超過4個小時.請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”.
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的最小值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上無零點,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義域為A的函數(shù)f(x),若對任意的x1,x2∈A,都有f(x1+x2)-f(x1)≤f(x2),則稱函數(shù)f(x)為“定義域上的M函數(shù)”,給出以下五個函數(shù):
①f(x)=2x+3,x∈R;②f(x)=x2,x∈;③f(x)=x2+1,x∈;④f(x)=sin x,x∈;⑤f(x)=log2x,x∈[2,+∞).
其中是“定義域上的M函數(shù)”的有( )
A. 2個 B. 3個
C. 4個 D. 5個
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列中,若 (,,為常數(shù)),則稱為“等方差數(shù)列”.下列對“等方差數(shù)列”的判斷:
①若是等方差數(shù)列,則是等差數(shù)列;
②是等方差數(shù)列;
③若是等方差數(shù)列,則 (,為常數(shù))也是等方差數(shù)列.其中正確命題序號為
__________(寫出所有正確命題的序號).
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