Question

17．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，g（x）=$\frac{1}{2}{（x-1）^2}$-1．
（Ⅰ）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$，求a的值；
（Ⅲ）當(dāng)a=0時(shí)，若x≥1時(shí)，恒有x•f（x）≤λ[g（x）+x]成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，由此得到f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（Ⅱ）由f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，根據(jù)a≥-1，a≤-e，-e＜a＜-1，進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的值．
（Ⅲ）推導(dǎo)出lnx-$\frac{1}{2}λ$（x-$\frac{1}{x}$）≤0，令$G（x）=lnx-\frac{1}{2}λ（x-\frac{1}{x}），G'（x）=\frac{{-λ{(lán)x^2}+2x-λ}}{{2{x^2}}}$，要所λ≤-1，-1＜λ＜0，λ=0，0＜λ＜1，λ≥1進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出λ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，
∴由題意知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞） …（1分）
且f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$．…（3分）
∵a＞0，∴f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．…（5分）
（Ⅱ）由（1）可知，f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$．
①若a≥-1，則x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
此時(shí)f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=-a=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
②若a≤-e，則x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
此時(shí)f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（e）=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\frac{e}{2}$（舍去）．
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0得x=-a，
當(dāng)1＜x＜-a時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上為減函數(shù)；
當(dāng)-a＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\sqrt{e}$．
綜上所述，a=-$\sqrt{e}$．
（Ⅲ）∵xf（x）≤λ[g（x）+x]，∴$xlnx≤λ[\frac{1}{2}（x-1）^{2}-1+x]$，
∴xlnx≤λ（$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}$），∴l(xiāng)nx-$\frac{1}{2}λ$（x-$\frac{1}{x}$）≤0，
令 $G（x）=lnx-\frac{1}{2}λ（x-\frac{1}{x}），G'（x）=\frac{{-λ{(lán)x^2}+2x-λ}}{{2{x^2}}}$，
當(dāng)λ≤-1時(shí)，△=4-4（-λ）（-λ）≤0，故恒有-λx²+2x-λ≥0，
則G′（x）≥0恒成立，故G（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴G（x）≥G（1）=0，這與條件矛盾；
當(dāng)-1＜λ＜0時(shí)，x=-$\frac{2}{2（-λ）}=\frac{1}{λ}＜0$，
故有y=-λx²+2x-λ在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
故有-λx²+2x-λ＞2-2λ＞0，則G′（x）≥0恒成立，
故G（x）在區(qū)間[1，+∞）上恒單調(diào)遞增，
∴G（x）≥G（1）=0，這與條件矛盾；
當(dāng)λ=0時(shí)，G′（x）=$\frac{2x}{2{x}^{2}}$＞0，故G（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴G（x）≥G（1），這與條件矛盾；
當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，設(shè)-λx²+2x-λ=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∵${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{λ}＞2，{x}_{1}{x}_{2}=1$，
∴0＜x₁＜1＜x₂，∴x∈（1，x₂）時(shí)，-λx²+2x-λ＞0，
故函數(shù)G（x）在區(qū)間（1，x₂）上單調(diào)遞增，
∴G（x₂）≥G（1）=0，這與條件矛盾；
當(dāng)λ≥1時(shí)，△=4-4（-λ）（-λ）≤0，故恒有-λx²+2x-λ≤0，
∴G′（x）≤0恒成立，故G（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴G（x）≤G（1）=0，命題成立．
綜上所述λ≥1，所以λ的最小值為1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性質(zhì)的判斷，考查實(shí)數(shù)值、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法、函數(shù)單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，是中檔題．