【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線向左平移2個(gè)單位,再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的,得到曲線,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的參數(shù)方程;
(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求曲線上到直線的距離最短的點(diǎn)的直角坐標(biāo).
【答案】(1)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(2)
【解析】
(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程,再利用坐標(biāo)變換求得的普通方程,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程;
(2)把直線的參數(shù)方程化為普通方程,設(shè)曲線上點(diǎn)為,利用點(diǎn)到直線的距離公式弦長點(diǎn)P到的距離,利用三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解.
(1)由,可得,
又由,,代入整理得曲線的普通方程為,
設(shè)曲線上的點(diǎn)為,變換后的點(diǎn)為,由題可知坐標(biāo)變換為,
將代入曲線的普通方程,整理得曲線的普通方程為.
所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
可得直線的直角坐標(biāo)方程為,
設(shè)曲線上的點(diǎn)為,,
則點(diǎn)到直線的距離為,
其中,,
當(dāng)時(shí),,
此時(shí),,
即此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,
所以曲線上到直線的距離最短的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年,國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,某省采用3+3模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,滿分各150分,另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科目滿分100分為了應(yīng)對新高考,某高中從高一年級1000名學(xué)生(其中男生550人,女姓450人)中,采用分層抽樣的方法從中抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)己知抽取的名學(xué)生中含男生55人,求的值;
(2)學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個(gè)科目,為了了解學(xué)生對這兩個(gè)科目的選課情況,對在(1)的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目),下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
選擇“物理” | 選擇“地理” | 總計(jì) | |
男生 | 10 | ||
女生 | 25 | ||
總計(jì) |
附:,.
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】哈市某公司為了了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從南崗區(qū)隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶,根據(jù)用戶對其產(chǎn)品的滿意度的評分,得到用戶滿意度評分的頻率分布表.
滿意度評分分組 | |||||
頻數(shù) | 2 | 8 | 14 | 10 | 6 |
(1)在答題卡上作出南崗區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖;
南崗區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖
(2)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度評分分為三個(gè)等級:
滿意度評分 | 低于70分 | 70分到89分 | 不低于90分 |
滿意度等級 | 不滿意 | 滿意 | 非常滿意 |
估計(jì)南崗區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率;
(3)求該公司滿意度評分的中位數(shù)(保留小數(shù)點(diǎn)后兩位).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】通過隨機(jī)詢問200名性別不同的大學(xué)生是否愛好踢毽子運(yùn)動(dòng),計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量的觀測值,參照附表,得到的正確結(jié)論是( )
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 |
A.有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
B.有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”
C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)探究:是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)證明:函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn);
(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為,,上、下頂點(diǎn)為,,記四邊形的內(nèi)切圓為.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知圓的一條不與坐標(biāo)軸平行的切線交橢圓于P,M兩點(diǎn).
(i)求證:;
(ii)試探究是否為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知圓的參數(shù)方程是(為參數(shù)).以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程是,射線:與圓的交點(diǎn)為、兩點(diǎn),與直線的交點(diǎn)為.
(1)求圓的極坐標(biāo)方程;
(2)求線段的長.
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