Question

已知函數(shù)和的圖像關(guān)于原點對稱，且．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）解不等式；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1)；(2) 解集為；(3) ．

試題分析：(1)兩個函數(shù)的圖象關(guān)于某點或某條直線對稱，一般設(shè)待求解析式的函數(shù)圖象上任一點的坐標(biāo)為，求出這點的對稱點的坐標(biāo)，當(dāng)然這里是用表示的式子，然后把點代入已知解析式，就能求出結(jié)論；(2)這是含有絕對值的不等式，解題時，一般按照絕對值的定義分類討論以去掉絕對值符號，便于解題；(3) ，這是含參數(shù)的二次函數(shù)，解題時，首先對二次項系數(shù)分類，即分二次項系數(shù)為0，不為0，其中不為0還要分為是正數(shù)，還是負(fù)數(shù)進(jìn)行討論，在二次項系數(shù)不為0時，只要討論其對稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系就能求得結(jié)論．
試題解析：（1）設(shè)是函數(shù)圖像上任一點，則關(guān)于原點對稱的點在函數(shù)的圖像上，          （1分）
所以，故．    （2分）
所以，函數(shù)的解析式是．    （1分）
（2）由，得，   （1分）
即．     （1分）
當(dāng)時，有，△，不等式無解；   （1分）
當(dāng)時，有，，解得． （2分）
綜上，不等式的解集為．      （1分）
（3）． （1分）
①當(dāng)時，在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意．   （1分）
②當(dāng)時，函數(shù)圖像的對稱軸是直線．   （1分）
因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，
1）當(dāng)時，，函數(shù)圖像開口向上，故，
解得；                （1分）
2）當(dāng)時，，函數(shù)圖像開口向下，故，解得． （1分）
綜上，的取值范圍是．     （1分）