Question

4．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞c）的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，O為坐標(biāo)原點，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|²，若橢圓的離心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則直線OA的方程是（　　）

• A． y=$\frac{1}{2}x$
• B． y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x
• C． y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
• D． y=x

Answer 1

分析 設(shè)F₂（c，0），令x=c，代入橢圓方程求得y=±$\frac{^{2}}{a}$，運用向量的數(shù)量積的定義可得AF₂⊥F₁F₂，可得A（c，$\frac{^{2}}{a}$），運用離心率公式和直線的斜率公式，計算即可得到所求直線方程．

解答 解：設(shè)F₂（c，0），
令x=c，代入橢圓方程可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|²，
即為|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|•cos∠AOF₂=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|²，
則|$\overrightarrow{OA}$|•cos∠AOF₂=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|，
即有AF₂⊥F₁F₂，可得A（c，$\frac{^{2}}{a}$），
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得$\frac{^{2}}{ac}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}$=$\frac{1-{e}^{2}}{e}$=$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則直線OA的方程為y=$\frac{^{2}}{ac}$x，即為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
故選：B．

點評 本題考查直線方程的求法，注意運用向量的數(shù)量積的定義和橢圓的離心率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．