Question

16．已知函數(shù)$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-x，x≥0$．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥ax+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，從而求出f（x）的最小值；
（Ⅱ）【法一】討論a≤0以及a＞0時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出滿(mǎn)足f（x）＜ax+1時(shí)a的取值范圍．
【法二】根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-ax-1，利用導(dǎo)數(shù)h′（x）判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性與是否存在零點(diǎn)，
從而求出滿(mǎn)足f（x）＜ax+1時(shí)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-x，x≥0$，
所以f′（x）=e^x-x-1；
令g（x）=e^x-x-1，則g′（x）=e^x-1，
所以當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0；
故g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，
所以f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
故當(dāng)x=0時(shí)f（x）取得最小值1；
（Ⅱ）【法一】（1）當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)于任意的x≥0，恒有ax+1≤1，
又由（Ⅰ）得f（x）≥1，故f（x）≥ax+1恒成立；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，令h（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-ax-1，
則h′（x）=e^x-x-a-1，由（Ⅰ）知g（x）=e^x-x-1在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以h′（x）=e^x-x-a-1在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
又h′（0）=-a＜0，取x=2$\sqrt{a}$，由（Ⅰ）得${e}^{2\sqrt{a}}$≥$\frac{1}{2}$${（2\sqrt{a}）}^{2}$+2$\sqrt{a}$+1，
h′（2$\sqrt{a}$）=${e}^{2\sqrt{a}}$-2$\sqrt{a}$-a-1≥$\frac{1}{2}$${（2\sqrt{a}）}^{2}$+2$\sqrt{a}$+1-2$\sqrt{a}$-a-1=a＞0，
所以函數(shù)h′（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀∈（0，2$\sqrt{a}$），
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h′（x）＜0，
h（x）在[0，x₀）上單調(diào)遞減；
所以當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ax+1，不符合題意；
綜上，a的取值范圍是（-∞，0]．
【法二】令h（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-ax-1，則h′（x）=e^x-x-a-1，
由（Ⅰ）知，x＞0時(shí)，e^x-x-1＞0；
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）=e^x-x-a-1＞0，此時(shí)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x≥0時(shí)，h（x）≥h（0）=0，即e^x-$\frac{1}{2}$x²-x≥ax+1，即a≤0時(shí)，f（x）≥ax+1恒成立；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由（Ⅰ）知g（x）=e^x-x-1在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以h′（x）=e^x-x-a-1＞0在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以h′（x）在[0，+∞）上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，
如果h′（x）在[0，+∞）上存在零點(diǎn)x₀，因?yàn)閔′（0）=-a＜0，則x₀＞0，且h′（x₀）=0，
故當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h′（x）＜h′（x₀）=0，
所以h（x）在[0，x₀）上單調(diào)遞減；
所以當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ax+1，不符合題意；
如果h′（x）在[0，+∞）上不存在零點(diǎn)，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h′（x）＜0，
所以h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減；
則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ax+1，不符合題意；
綜上，a的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)極其應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式的應(yīng)用問(wèn)題，考查了推理論證能力與邏輯思維能力以及運(yùn)算求解能力的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．