Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點(diǎn)．
（I）求證：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線CD，CB，CP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，
則C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴DE⊥CA，DE⊥CP，
又CP∩CA=C，AC平面PAC，CP平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，∵DE平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAC．
（Ⅱ） ，
設(shè) 是平面PDE的一個(gè)法向量，則 ，
∴ ，
令x=2，則y=1，z=2，即 ，
∴ =4，| |=3，| |=2，
∴cos＜ ＞= = ．
∴直線PC與平面PDE所成的角的正弦值為 ．

【解析】（I）點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量 ， ， 的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；（II）求出平面PDE的法向量 ，計(jì)算 與 的夾角，則直線PC與平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜ ＞|．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．