Question

15．已知點A（-2，0），B（0，2）與圓 C₁：x²+y²-2x=0，
（1）若點D是圓C₁上的動點，求△ABD面積的最小值．
（2）圓C與圓 C₁相外切并且與直線 l：x+$\sqrt{3}$y=0相切于點P（3，-$\sqrt{3}$），求圓C的圓心坐標．

Answer 1

分析 （1）數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)D為過圓心C₁且與直線AB垂直的射線C₁H與圓C₁的交點時，點D到直線AB的距離DH最小，從而△ABD的面積最�。�
（2）C（a，b）在過點P且與l垂直的直線上，$\frac{b+\sqrt{3}}{a-3}$=$\sqrt{3}$；圓C與l相切于點P，r=$\frac{|a+\sqrt{3}b|}{2}$，圓C與圓C₁相外切，$\sqrt{（a-1）^{2}+^{2}}$=r+1，由此求圓C的圓心坐標．

解答 解：（1）直線AB方程為 x-y+2=0，圓C₁圓心為C₁（1，0），半徑r=1．…（2分）
數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)D為過圓心C₁且與直線AB垂直的射線C₁H與圓C₁的交點時，
點D到直線AB的距離DH最小，從而△ABD的面積最小．
因為C₁H=$\frac{|1-0+2|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，所以DH=C₁H-1=$\frac{3}{\sqrt{2}}$-1，…（4分）
所以△ABD面積的最小值=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×$（$\frac{3}{\sqrt{2}}$-1）=3-$\sqrt{2}$；          …（5分）
（2）設(shè)所求圓的圓心為C（a，b），半徑長為r，
則圓C的標準方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵C（a，b）在過點P且與l垂直的直線上，∴$\frac{b+\sqrt{3}}{a-3}$=$\sqrt{3}$．①…（6分）
又∵圓C與l相切于點P，∴r=$\frac{|a+\sqrt{3}b|}{2}$．②…（7分）
∵圓C與圓C₁相外切，∴$\sqrt{（a-1）^{2}+^{2}}$=r+1    ③…（8分）
由①得$\sqrt{3}$a-b-4$\sqrt{3}$=0，從而$\sqrt{4{a}^{2}-26a+49}$=|2a-6|+1，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以圓C的圓心坐標為（4，0）或 （0，-4$\sqrt{3}$）．…（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．