Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，分別為、的中點.

（1）證明：平面；

（2）已知與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明（2）

【解析】

解法1：（1）建立空間直角坐標系，利用直線的向量和平面法向量平行證明線面垂直；

（2）設，利用與平面所成的角為得到的值，再求出兩個面的法向量之間的夾角余弦值，得到二面角的余弦值.

解法2：（1）取中點，連接、，易證平面，再證明,可得平面

（2）設，利用與平面所成的角為得到的值，再求出兩個面的法向量之間的夾角余弦值，得到二面角的余弦值.

解法3：（1）同解法2

（2）設，利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)化，得到到面的距離，利用與平面所成的角為得到與的關系，解出，在兩個平面分別找出垂直于交線，得到二面角，求出其余弦值.

解法1：

（1）以為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系．

設，，則，，， ，，，，，．

因為，，

所以，，面，面，

于是平面．

（2）設平面的法向量，

則，，

又，，

故，取，得．

因為與平面所成的角為，，

所以， ，

解得，．

由（1）知平面的法向量，

，

所以二面角的余弦值為．

解法2：

（1）取中點，連接、,

，

平面，平面

，

而平面,平面,

平面．

為中點， ，，

，，

四邊形為平行四邊形，

．

平面．

（2）以為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系．

設，，，則，，．

設平面的法向量，

則，，

又，，

故，

取，得．

因為與平面所成的角為，，

所以， ，

解得，．

由（1）知平面的法向量，

所以二面角的余弦值為．

解法3：

（1）同解法2．

（2）設，，則，,，

，，

到平面距離，設到面距離為，

由

得，即

．

因為與平面所成的角為，

所以，

而在直角三角形中，

所以，

解得．

因為平面，平面,所以，

平面，平面所以，所以平面，

平面,平面

所以為二面角的平面角，

而,可得四邊形是正方形，所以，

所以二面角的余弦值為．