Question

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A．B．C成等差數(shù)列，且A＜B＜C，tanA•tanC=2+

3

．
①求角A、B、C的大�。�
②如果BC邊的長(zhǎng)等于4

3

，求△ABC的邊AC的長(zhǎng)及三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）由三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列及三角形的內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)及A+C的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出tan（A+C）的值，根據(jù)兩角和的正切函數(shù)公式及已知的tanAtanC的值，即可求出tanA+tanC的值，與tanAtanC的值聯(lián)立，根據(jù)A和C的范圍即可求出tanA和tanC的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)，在由A+C的度數(shù)求出C的度數(shù)；
（2）由|BC|，sinA和sinB的值，利用正弦定理求出|AC|，然后由|AC|，|BC|及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵A+B+C=180°，2B=A+C，
∴B=60°，A+C=120°，
∴tg（A+C）=-

3

，
又tg（A+C）=

tgA+tgC

1-tgAtgC

，  tgAtgC=2+

3

，
∴-

3

=

tgA+tgC

1-2- 3

，
∴tgA+tgC=3+

3

，
又tgAtgC=2+

3

，且0＜A＜60°＜C＜120°，
∴tgA=1，tgC=2+

3

，
∴A=45°，∴C=120°-45°=75°；
（2）由正弦定理：

|AC|

sin60°

=

|BC|

sin45°

，
∴|AC|=6

2

，
∴S_△ABC=

1

2

|AC|•|BC|•sinC

= 1 2 ×6 2 ×4 3 ×sin75° =12 2 sin(45°+30°)=18+6 3 ．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦定理及三角形的面積公式，數(shù)列掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．