如圖,四棱錐中,底面為梯形,,,平面平面

(1)求證:平面;
(2)求證:
(3)是否存在點,到四棱錐各頂點的距離都相等?并說明理由.

(1)參考解析;(2)參考解析;(3)存在

解析試題分析:(1)線面平面平行的證明,關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條直線與要證明的直線平行,根據(jù),再根據(jù)直線BC,直線AD的位置關(guān)系,即可得線面平行.線面平行還有一種就是轉(zhuǎn)化為面面平行.線面平行的證明就是這兩種判斷的相互轉(zhuǎn)化.
(2)要證線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直,由題意可知,通過證明直線AC垂直于平面PAB,由面面垂直可知,只需證明直線AC垂直于AB,在三角形ABC中,由所給條件即可得到AC垂直于AB.
(3)由(2)可知直線PB垂直于平面PAC.所以可得直線PB垂直于直線PC.通過三角形的BCD全等于三角形CBA,所以可得直線BD垂直于DC.所以BC是的斜邊,即BC的中點就是所要找的Q點.
試題解析:(1)證明:底面為梯形,,
平面,平面
所以平面.
(2)證明:設(shè)的中點為,連結(jié),在梯形中,

因為 ,
所以 為等邊三角形,,
,
所以 四邊形為菱形.
因為,,
所以,
所以,
又平面平面,是交線,
所以 平面,
所以 ,即.
(3)解:因為 ,所以平面.
所以,
所以 為直角三角形,.
連結(jié),由(2)知,
所以 ,
所以 為直角三角形,.
所以點是三個直角三角形:、的共同的斜邊的中點,
所以 ,
所以存在點(即點)到四棱錐各頂點的距離都相等. 
考點:1.線面平行的判定.2.線線垂直的判定.3.直角三形的性質(zhì).4.歸納推理論證的能力.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知A是△BCD平面外的一點,E,F(xiàn)分別是BC,AD的中點.
 
(1)求證:直線EF與BD是異面直線;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF與BD所成的角.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在直三棱柱中,,點的中點。

(1)求證:∥平面
(2)如果點的中點,求證:平面平面.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,底面A1B1C1D1是正方形,OBD的中點,E是棱AA1上任意一點.

(1)證明:BDEC1;
(2)如果AB=2,AE,OEEC1,求AA1的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直圓O所在的平面,C是圓O上的點.

(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)設(shè)QPA的中點,G為△AOC的重心,求證:QG∥平面PBC.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形,為直角三角形,,且.

(1)證明:平面平面;
(2)若AB=2AE,求異面直線BE與AC所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

四邊形都是邊長為的正方形,點E是的中點,平面

(1)求證:平面;
(2)求證:平面平面
(3)求三棱錐A—BDE的體積

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在三棱錐S—ABC中,SC⊥平面ABC,點P、M分別是SC和SB的中點,設(shè)PM=AC=1,∠ACB=90°,直線AM與直線SC所成的角為60°。

(1)求證:平面MAP⊥平面SAC。
(2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,平面PCD⊥平面ABCD,M為PC中點.求證:

(1)PA∥平面MDB;
(2)PD⊥BC.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案