Question

已知f（x）=ax+lnx，x∈（0，e]，，其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若a=-1，求f（x）的極值；
（2）求證：在（1）的條件下，；
（3）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最大值是-3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=-x+lnx，
f?（x）=-1+=，
∴當1＜x＜e時，f?（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減，當0＜x＜1時，f?（x）＞0，此時f（x） 單調(diào)遞增，
∴f（x）的極大值為f（1）=-1．
（2）∵f（x）的極大值即f（x）在（0，e]上的最大值為-1
令h（x）=，
∴，
∴當0＜x＜e時，h?（x）＜0，且h（x）在x=e處連續(xù)
∴h（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
∴h（x）_min=h（e）=＞-1=f（x）_max
∴當x∈（0，e]時，
（3）假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）=ax+lnx有最大值-3，x∈（0，e]，
f?（x）=，
①當a≥時，由于x∈（0，e]，則f?（x）=≥0且f（x） 在x=e處連續(xù)
∴函數(shù)f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1=-3，解得（舍去）．
②當a＜時，
則當-＜x＜e時，f?（x）=＜0，此時f（x）=ax+lnx 是減函數(shù)，
當時，f?（x）=＞0此時f（x）=f（x）=ax+lnx 是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（-）=-1+ln（）=-3，解得a=-e²．
由①、②知，存在實數(shù)a=-e²，使得當x∈（0，e]，時f（x）有最大值-3．
分析：（1）求出函數(shù)導函數(shù)，求出導函數(shù)的符號，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值．
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x），通過導數(shù)，求出導函數(shù)的符號，求出h（x）的單調(diào)性，求出h（x）的最小值，得到要證的不等式．
（3）求出導函數(shù)，通過對a與區(qū)間的討論，求出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，令最大值為-3，列出方程求出a的值．
點評：解決函數(shù)的極值問題常用的是導函數(shù)在極值點處的值為0；證明不等式時常轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值．