Question

設(shè)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+3≤a_n+3，a_n+2≥a_n+2，則a₂₀₁₄=（　�。�

• A、2011
• B、2012
• C、2013
• D、2014

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)遞推關(guān)系得到a_n+6=a_n+6，從而得到等式成立的條件，構(gòu)造等差數(shù)列即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵a_n+3≤a_n+3，
∴a_n+6≤a_n+3+3≤a_n+6，
∵a_n+2≥a_n+2，
∴a_n+6≥a_n+4+2≥a_n+2+4≥a_n+6，
∴a_n+6=a_n+6，當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)取等號(hào)才成立，
即a_n+3=a_n+3，a_n+2=a_n+2，
則a_n+3-a_n+2=1，則從第四項(xiàng)起數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差d=1，
∵a₁=1，∴a₃=a₁+2=3，
則當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=a₃+（n-3）d=3+n-3=n，
則a₂₀₁₄=2014，
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)不等式的傳遞性得到a_n+6=a_n+6是解決本題的關(guān)鍵．綜合性 較強(qiáng)，難度較大．