Question

已知雙曲線與橢圓有共同的焦點，點在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）以P（1，2）為中點作雙曲線C的一條弦AB，求弦AB所在直線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓方程可求其焦點坐標，從而可得雙曲線C的焦點坐標，利用點在雙曲線C上，根據(jù)雙曲線定義||AF₁|-|AF₂||=2a，即可求出所求雙曲線C的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入A、B在雙曲線方程得，兩方程相減，借助于P（1，2）為中點，可求弦AB所在直線的斜率，進而可求其方程．
解答：解：（1）由已知雙曲線C的焦點為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
由雙曲線定義||AF₁|-|AF₂||=2a，
∴
∴，
∴b²=2
∴所求雙曲線為…（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因為A、B在雙曲線上
∴，兩方程相減得：得（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0
∴，
∴
∴弦AB的方程為即x-2y+3=0
經檢驗x-2y+3=0為所求直線方程．…（12分）
點評：本題以橢圓為載體，考查雙曲線的標準方程，考查弦中點問題，考查點差法的運用，綜合性強．