Question

如圖所示，E，F(xiàn)分別為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱B₁C₁和AD的中點(diǎn)，求證：
（1）四邊形D₁EBF為平行四邊形；
（2）AB₁∥平面D₁EBF．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)直線平行的性質(zhì)即可證明四邊形D₁EBF為平行四邊形；
（2）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明AB₁∥平面D₁EBF．

解答： 證明：（1）取BC的中點(diǎn)G，連接C₁G，F(xiàn)G，
則C₁E∥BG，且CE=BG，
則四邊形BGC₁E是平行四邊形，
則BE∥C₁G，且BE=C₁G，
∵D₁F∥C₁G，且D₁F=C₁G，
∴D₁F∥EB，且D₁F=EB，
四邊形D₁EBF為平行四邊形；
（2）連接EF，
∵AF∥B₁E，且AF=B₁E，
∴四邊形B₁EFA為平行四邊形；
∴AB₁∥EF，
∵AB₁∥?平面D₁EBF
∴AB₁∥平面D₁EBF．

點(diǎn)評：本題主要考查空間直線平行的判斷和應(yīng)用，以及線面平行的判定定理的應(yīng)用．要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理．