Question

11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知atanB=2bsinA．
（1）求B；
（2）若b=$\sqrt{3}$，A=$\frac{5π}{12}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，將atanB=2bsinA變形可得asinB=2bsinAcosB，由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB，分析可得cosB=$\frac{1}{2}$，由B的范圍可得答案；
（2）由三角形內(nèi)角和定理可得C的大小，進而由正弦定理可得c=$\frac{sinB}$×sinC=$\sqrt{2}$，由三角形面積公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，atanB=2bsinA⇒a$\frac{sinB}{cosB}$=2bsinA⇒asinB=2bsinAcosB，
由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB，
變形可得2cosB=1，即cosB=$\frac{1}{2}$，
又由0＜B＜π，
故B=$\frac{π}{3}$，
（2）由（1）可得：B=$\frac{π}{3}$，
則C=π-$\frac{π}{3}$-$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{4}$，
由正弦定理$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，可得c=$\frac{sinB}$×sinC=$\sqrt{2}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、三角形面積計算公式、倍角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．