函數(shù)y=2
1-x
+
2x+1
的最大值為
3
3
分析:由函數(shù)解析式求出函數(shù)的定義域,將函數(shù)變?yōu)閥=2
1-x
+
2
x+
1
2
,再利用柯西不等式,即可得到結(jié)論.
解答:解:由題意得,
1-x≥0
2x+1≥0
,解得-
1
2
≤x≤1

則函數(shù)的定義域是[-
1
2
,1],
由柯西不等式得,
y=2
1-x
+
2x+1
=2
1-x
+
2
x+
1
2
4×2
×
1-x+x+
1
2
=3,
當(dāng)且僅當(dāng)2
1-x
=
2x+1
,即x=
1
2
時取到等號,
則當(dāng)x=
1
2
時,函數(shù)的最大值是3,
故答案為:3.
點(diǎn)評:本題考查了柯西不等式求函數(shù)最值,關(guān)鍵是對所給函數(shù)解析式靈活變形,再應(yīng)用柯西不等式,此類型是函數(shù)中兩個根式變量的系數(shù)不互為相反數(shù)(互為相反數(shù)時可用基本不等式),但是符號相反,注意先求函數(shù)的定義域,驗(yàn)證等號成立的條件.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=
21-x
在區(qū)間[2,6]上的最大值和最小值分別是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=-2
1-(x-1)2
的圖象關(guān)于直線y=x的對稱曲線為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
①函數(shù)y=
3-2x
x+1
的對稱中心為(-1,-2);
②函數(shù)y=21-x在定義域內(nèi)遞增;  
③函數(shù)y=log3(x+
1
x
-3)
的值域?yàn)镽;      
④函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x+2)=1,則f(2013)=f(1);
⑤若x2-2mx+m2-1=0兩根都大于-2,則m>-1.
則上述命題正確的是
①③④⑤
①③④⑤

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

作出下列函數(shù)的圖象:

(1)y=21-x;(2)y=2x-1;

(3)y=lg|x|;(4)y=|lg(x+1)|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

函數(shù)y=
2
1-x
在區(qū)間[2,6]上的最大值和最小值分別是______.

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