Question

16．某工廠2萬元設計了某款式的服裝，根據經驗，每生產1百套該款式服裝的成本為1萬元，每生產x（百套）的銷售額（單位：萬元）P（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x-0.8，0＜x≤5}\\{14.7-\frac{9}{x-3}，x＞5}\end{array}\right.$．
（1）若生產6百套此款服裝，求該廠獲得的利潤；
（2）該廠至少生產多少套此款式服裝才可以不虧本？
（3）試確定該廠生產多少套此款式服裝可使利潤最大，并求最大利潤．（注：利潤=銷售額-成本，其中成本=設計費+生產成本）

Answer 1

分析 （1）求出x=6時的銷售額，再減去成本即可得出利潤；
（2）令利潤y≥0解不等式即可得出結論；
（3）對x的范圍進行討論，根據二次函數的性質和基本不等式得出利潤的最大值．

解答 解：（1）當x=6時，利潤y=P（6）-（2+6×1）=14.7-$\frac{9}{6-3}$-（2+6×1）=3.7（萬元），
答：生產6百套此款服裝，該廠獲得利潤3.7萬元
（2）當0＜x≤5時，利潤y=-0.4x²+3.2x-2.8，
令-0.4x²+3.2x-2.8≥0，解得：1≤x≤7，
∴該廠至少生產1百套此款式服裝才可以不虧本．
（3）設利潤為y萬元，則y=p（x）-（2+x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+3.2x-2.8，0＜x≤5}\\{12.7-\frac{9}{x-3}-x，x＞5}\end{array}\right.$，
當0＜x≤5時，y=-0.4x²+3.2x-2.8=-0.4（x-4）²+3.6，
∴當x=4時，y_max=3.6（萬元），
當x＞5時，利潤y=12.7-$\frac{9}{x-3}$-x=9.7-（x-3+$\frac{9}{x-3}$），
∵x-3+$\frac{9}{x-3}$≥2$\sqrt{（x-3）•\frac{9}{x-3}}$=6（當且僅當x-3=$\frac{9}{x-3}$，即x=6時，取“=”），
∴當x=6時，y_max=3.7（萬元），
綜上，當x=6時，y_max=3.7（萬元）．
∴該廠生產6百套此款式服裝時，利潤最大，且最大利潤為3.7萬元．

點評 本題考查了函數模型的應用，函數最值的計算，屬于中檔題．