Question

5．已知函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，g（x）是反比例函數(shù)，且滿足f[f（x）]=x+2，g（1）=-1
（1）求函數(shù)f（x）和g（x）；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），判斷函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出函數(shù)的解析式，通過待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式即可；
（2）求出h（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）因為f（x）是一次函數(shù)，g（x）是反比例函數(shù)
∴設(shè)f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=$\frac{k}{x}$（k≠0），
∵f[f（x）]=x+2，
∴a（ax+b）+b=x+2，
∴a²x+（a+1）b=x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=1}\\{（a+1）b=2}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=1，
故f（x）=x+1；
∵g（1）=-1，故k=-1，
故g（x）=-$\frac{1}{x}$；
（2）判斷：函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
由（1）知h（x）=$x-\frac{1}{x}$+1，設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
h（x₁）-h（x₂）=（x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（1+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$），
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，即h（x₁）＜h（x₂），
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）遞增．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式問題，考查定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．