Question

13．已知函數(shù)f（x）=x+ae^π（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x＜0，a≤1時(shí)，證明：x²+（a+1）x＞f'（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過a與0的大小討論，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性．
（2）令F（x）=x²+（a+1）x-xf'（x），化簡F（x）的表達(dá)式，令H（x）=x+a-ae^x，求出H'（x）=1-ae^x，判斷H（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，得到H（x）＜H（0）=0，然后證明結(jié)果．

解答 解：（1）由f（x）=x+ae^x可得f'（x）=1+ae^x．
當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）＞0可得$x＜ln（{-\frac{1}{a}}）$，由f'（x）＜0可得$x＞ln（{-\frac{1}{a}}）$；
則函數(shù)f（x）在$（{-∞，ln（{-\frac{1}{a}}）}）$上為增函數(shù)，在$（{ln（{-\frac{1}{a}}），+∞}）$上為減函數(shù)…（4分）
（2）證明：令F（x）=x²+（a+1）x-xf'（x），
則F（x）=x²+（a+1）x-xf'（x）=x²+ax-axe^x=x（x+a-ae^x），
令H（x）=x+a-ae^x，則H'（x）=1-ae^x，
∵x＜0，∴0＜e^x＜1，又a≤1，∴1-ae^x≥1-e^x＞0，
∴H（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，則H（x）＜H（0）=0，即x+a-ae^x＜0，
由x＜0可得F（x）=x（x+a-ae^x）＞0，所以x²+（a+1）x＞xf'（x）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造法的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．