Question

18．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)$（{\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，判斷直線PM是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)$（{\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在橢圓C上，列出方程解得a²=4，b²=3．然后求解橢圓C的方程即可．
（Ⅱ）設(shè)直線l_MN：x=ty+1（t≠0），聯(lián)立方程直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，以及點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P（x₂，-y₂），求出${k_{PM}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，得到直線PM的方程為$y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（{x-{x_1}}）$，利用對(duì)稱性可觀察若直線PM恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)應(yīng)在x軸上，故令y=0，求出x，然后判斷直線PM恒過(guò)定點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）由題知$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{1}{4}$，得${b^2}=\frac{3}{4}{a^2}$
∵點(diǎn)$（{\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上，∴$\frac{3}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$．
解得a²=4，b²=3．∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）設(shè)直線l_MN：x=ty+1（t≠0），聯(lián)立方程得$\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;x=ty+1\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.⇒（{3{t^2}+4}）{y^2}+6ty-9=0$∴${y_1}+{y_2}=-\frac{6t}{{3{t^2}+4}}\;\;\;\;①$${y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{t^2}+4}}\;\;\;\;②$
且△=144t²+144＞0∵N（x₂，y₂）∴點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P（x₂，-y₂）
∴${k_{PM}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$
故直線PM的方程為$y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（{x-{x_1}}）$，
由對(duì)稱性可知若直線PM恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)應(yīng)在x軸上，故令y=0得$x=\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{（{t{y_1}+1}）{y_2}+（{t{y_2}+1}）{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{2t{y_1}{y_2}+{y_1}+{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$，
將①②式代入上式，
得x=$\frac{2t（-\frac{9}{3{t}^{2}+4}）-\frac{6t}{3{t}^{2}+4}}{-\frac{6t}{3{t}^{2}+4}}$=4，故直線PM恒過(guò)定點(diǎn)（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的解決方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．