Question

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是一個梯形，且AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD=4，BD=4$\sqrt{3}$，AD=2CD=8．
（1）設(shè)M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積；
（3）當(dāng)M點位于線段PC什么位置時，PA∥平面MBD？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理的逆定理和面面的判定與性質(zhì)定理、線面的判定定理即可證明；
（2）利用線面垂直的判定找出四棱錐的高，利用體積計算公式即可得出；
（3）當(dāng)M為PC的三等分點，即2CM=MP時，結(jié)論成立．

解答 （1）證明：平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD．
∵AD²+BD²=AB²，∴BD⊥AD，
∴BD⊥平面ABCD∴平面MBD⊥平面ABCD，
（2）解：過P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO為四棱錐P-ABCD的高．
又∵△PAD是邊長為4的等邊三角形，
∴PO=2$\sqrt{3}$，
∴V_P-ABCD=$\frac{4+8}{2}•2\sqrt{3}•2\sqrt{3}$=24
（3）當(dāng)M為PC的三等分點，即2CM=MP時，結(jié)論成立．
證明：連AC交BD于點N，
∵CD∥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，∴$\frac{CN}{NA}=\frac{1}{2}=\frac{CM}{MP}$，
∴MN∥PA，PA?平面MBD，MN?平面MBD，∴PA∥平面MBD．

點評 熟練掌握勾股定理的逆定理和面面的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、四棱錐體積計算公式是解題的關(guān)鍵．